Calcule as integrais definidas:
integral0^5 raizt^2+1 d t

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^5raizt^2+1,dt
Esse é um caso padrão de integral da forma integralraizt^2+a^2,dt. Vamos usar a substituição hiperbólica t=sinh u para obter a antiderivada.

Passo 2

Fazendo t=sinh u, temos dt=cosh u,du e
raizt^2+1=raizsinh^2u+1=cosh u
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integralraizt^2+1,dt = integralcosh^2u,du
Usando cosh^2u=tfrac1+cosh2u2,
integralcosh^2u,du = integral1+cosh2u2,du = u2 + sinh2u4 + C

Passo 3

Volta a t: temos
u = arsinh(t) = lnl(t + raizt^2+1r), sinh2u = 2sinh u,cosh u = 2traizt^2+1
Substituindo em u2 + sinh2u4 + C,
F(t) = 12lnl(t + raizt^2+1r) + 14cdot 2traizt^2+1 + C = t2raizt^2+1 + 12lnl(t + raizt^2+1r) + C

Passo 4

Avaliaremos nos limites 0 e 5:
F(5) = 52raiz26 + 12lnl(5 + raiz26r), F(0) = 02cdot1 + 12ln(1) = 0
Portanto,
integral0^5raizt^2+1,dt = F(5) - F(0) = 5raiz262 + 12lnl(5 + raiz26r)

Resposta

integral0^5raizt^2+1,dt = 5raiz262 + 12lnl(5 + raiz26r)

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