Calcule as integrais definidas:
integral0^2 3 w raiz4-w^2 d w

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^23,w,raiz4 - w^2,dw
O conteúdo envolvido é a técnica de substituição em integrais, pois temos uma função composta raiz4-w^2 cujo interior deriva em algo proporcional a w.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4 - w^2, du = -2,w,dw Longrightarrow w,dw = -12,du
Assim o fator 3,w,dw vira
3,w,dw = 3l(-tfrac12dur) = -32,du,
e o radicando raiz4-w^2 torna-se raizu.

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de w para u:
quando w=0,;u=4; quando w=2,;u=4-2^2=0
Portanto a integral original passa a ser
integral0^23,w,raiz4 - w^2,dw = integralu=4^u=0l(-tfrac32r),u^tfrac12,du
Invertendo os limites para eliminar o sinal negativo:
integral4^0l(-tfrac32r),u^tfrac12,du = integral0^4tfrac32,u^tfrac12,du

Passo 4

Agora integramos em u:
integral u^tfrac12,du =u^tfrac32tfrac32 =23,u^tfrac32
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integral0^4tfrac32,u^tfrac12,du =32,l[tfrac23,u^tfrac32r]0^4 =l[u^tfrac32r]0^4 =4^tfrac32-0^tfrac32
Como 4^tfrac32=(raiz4)^3=2^3=8, concluímos que a integral vale 8.

Resposta

8

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