Calcule as integrais definidas:
integral1^3 d y(y+2)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^3 dy(y+2)^3. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a antiderivada da função 1(y+2)^3 e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que vamos integrar. A função 1(y+2)^3 pode ser reescrita como (y+2)^-3. Agora, precisamos encontrar a antiderivada dessa função. Lembre-se que a antiderivada de x^n é x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função (y+2)^-3, temos:
integral (y+2)^-3 , dy = (y+2)^-2-2 + C = -12(y+2)^2 + C
Então, a antiderivada de 1(y+2)^3 é -12(y+2)^2.

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a 3. Isso significa que vamos calcular:
[-12(y+2)^2]1^3 = -12(3+2)^2 + 12(1+2)^2
Calculando cada termo:
-12(5)^2 = -150
12(3)^2 = 118
Então, a diferença fica:
-150 + 118 = 118 - 150

Resposta

Calculando 118 - 150, encontramos:
25450 - 9450 = 16450 = 8225
Portanto, o valor da integral definida é 8225.

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