Calcule as integrais definidas:
integral0^3(3 x^2-4 x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral0^3(3 x^2-4 x+1) dx. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de integração para cada termo do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar cada termo do polinômio. A regra básica para integrar um termo como x^n é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Ou seja, integral x^n dx = x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Vamos aplicar isso a cada termo da nossa função.

Passo 3

Integramos cada termo separadamente:
  1. Para 3x^2:
integral 3x^2 dx = 3 cdot x^33 = x^3
  1. Para -4x:
integral -4x dx = -4 cdot x^22 = -2x^2
  1. Para 1:
integral 1 dx = x
Então, a integral indefinida da função é:
x^3 - 2x^2 + x + C

Passo 4

Agora, como estamos calculando uma integral definida de 0 a 3, vamos aplicar os limites de integração na função antiderivada que encontramos. Ou seja, vamos avaliar a função F(x) = x^3 - 2x^2 + x nos pontos 3 e 0 e subtrair os resultados.
F(3) = 3^3 - 2 cdot 3^2 + 3 = 27 - 18 + 3 = 12
F(0) = 0^3 - 2 cdot 0^2 + 0 = 0

Resposta

A integral definida integral0^3(3 x^2-4 x+1) dx é igual a 12.

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