Defina série geométrica e mostre que, para |x|<1, esta série converge para 11-x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente definir uma série geométrica e mostrar que, quando o valor de |x| < 1, essa série converge para 11 - x. A matéria envolvida aqui é séries infinitas, mais especificamente as séries geométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como verificar sua convergência usando a fórmula da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma infinita de termos onde cada termo subsequente é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Essa razão é geralmente representada por r.
Matematicamente, uma série geométrica pode ser escrita como:
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + dots
onde:
  • a é o primeiro termo,
  • r é a razão comum entre os termos.

Passo 3

No nosso caso, vamos considerar que o primeiro termo a = 1 e a razão r = x. Assim, a série fica:
S = 1 + x + x^2 + x^3 + dots
Queremos mostrar que, para |x| < 1, essa série converge para 11 - x.

Passo 4

Para encontrar a soma dessa série infinita, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, que é válida quando a razão |r| < 1. A fórmula é:
S = a1 - r
No nosso caso, como a = 1 e r = x, substituímos na fórmula:
S = 11 - x
Essa é a expressão para a soma da série geométrica quando |x| < 1.

Passo 5

Agora, vamos verificar a condição de convergência. A fórmula que usamos para a soma da série geométrica infinita só é válida se |r| < 1. No nosso caso, r = x, então a condição para a convergência da série é |x| < 1.

Resposta

Portanto, definimos a série geométrica como S = 1 + x + x^2 + x^3 + dots e mostramos que, para |x| < 1, essa série converge para 11 - x.

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