Defina série geométrica e mostre que, para
, esta série converge para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente definir uma série geométrica e mostrar que, quando o valor de
, essa série converge para
. A matéria envolvida aqui é séries infinitas, mais especificamente as séries geométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como verificar sua convergência usando a fórmula da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma infinita de termos onde cada termo subsequente é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Essa razão é geralmente representada por
.
Matematicamente, uma série geométrica pode ser escrita como:
onde:
-
é o primeiro termo, -
é a razão comum entre os termos.
Passo 3
No nosso caso, vamos considerar que o primeiro termo
e a razão
. Assim, a série fica:
Queremos mostrar que, para
, essa série converge para
.
Passo 4
Para encontrar a soma dessa série infinita, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, que é válida quando a razão
. A fórmula é:
No nosso caso, como
e
, substituímos na fórmula:
Essa é a expressão para a soma da série geométrica quando
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a condição de convergência. A fórmula que usamos para a soma da série geométrica infinita só é válida se
. No nosso caso,
, então a condição para a convergência da série é
.
Resposta
Portanto, definimos a série geométrica como
e mostramos que, para
, essa série converge para
.