estude a convergência das séries a seguir.
sumk=1^infty k^18(3 k)^k x^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar a convergência da série sumk=1^infty k^18(3k)^k x^k. Basicamente, vamos descobrir para quais valores de x essa série dá certo, ou seja, converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para analisar séries como essa, onde temos termos com potências de k.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo geral é:
ak = k^18(3k)^k x^k
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |

Passo 3

Substituindo e na expressão do limite, temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
E para a outra parte:
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando k tende a infinito. Sabemos que:
limk to infty (1 + 1k)^18 = 1
E para o termo (kk+1)^k:
limk to infty (kk+1)^k = limk to infty (1 - 1k+1)^k = 1e
Além disso,
limk to infty 1k+1 = 0

Passo 6

Juntando os limites:
L = limk to infty | ak+1ak | = 1 cdot 13 cdot 1e cdot 0 cdot |x| = 0

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, se L < 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, L = 0, que é definitivamente menor que 1, para qualquer valor de x.

Resposta

A série sumk=1^infty k^18(3k)^k x^k converge para todos os valores de x. Ou seja, o raio de convergência é infinito.

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