Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar a convergência da série . Basicamente, vamos descobrir para quais valores de essa série dá certo, ou seja, converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para analisar séries como essa, onde temos termos com potências de .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo geral é:
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite:
Passo 3
Substituindo e na expressão do limite, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
E para a outra parte:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando k tende a infinito. Sabemos que:
limk to infty (1 + 1k)^18 = 1
E para o termo (kk+1)^k:
limk to infty (kk+1)^k = limk to infty (1 - 1k+1)^k = 1e
Além disso,
limk to infty 1k+1 = 0
Passo 6
Juntando os limites:
L = limk to infty | ak+1ak | = 1 cdot 13 cdot 1e cdot 0 cdot |x| = 0
Passo 7
Segundo o Teste da Razão, se L < 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, L = 0, que é definitivamente menor que 1, para qualquer valor de x.
Resposta
A série sumk=1^infty k^18(3k)^k x^k converge para todos os valores de x. Ou seja, o raio de convergência é infinito.