Dados os números reais positivos
e
, as médias aritmética, geométrica e harmônica de tais números são definidas, respectivamente, por
,
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá dois reais positivos
e
e define as médias
Queremos mostrar a famosa desigualdade
usando ideias básicas de desigualdade (como o fato de que quadrados são não-negativos) e, no segundo caso, a inversão de desigualdade ao recíproco de números positivos.
Passo 2
Provar que
. Como qualquer quadrado é não-negativo, temos
Expandindo,
Dividindo por
resulta
ou seja
Passo 3
Provar que
. Observe que
e
são positivos, então aplicamos AM-GM a eles:
Mas
e
, logo
Como
e
, ao tomar recíproco a desigualdade inverte-se e obtemos