Dados os números reais positivos x e y, as médias aritmética, geométrica e harmônica de tais números são definidas, respectivamente, por a=x+y2, g=raizx y e h=(12(x^-1+y^-1))^-1. Mostre que h <= g <= a.

Passo 1

O enunciado dá dois reais positivos x e y e define as médias
a = x + y2,
g = raizx,y,
h = l(tfrac12(x^-1+y^-1)r)^-1 = 2x^-1+y^-1
Queremos mostrar a famosa desigualdade
h ;<=; g ;<=; a,
usando ideias básicas de desigualdade (como o fato de que quadrados são não-negativos) e, no segundo caso, a inversão de desigualdade ao recíproco de números positivos.

Passo 2

Provar que g <= a. Como qualquer quadrado é não-negativo, temos
l(raizx - raizyr)^2 ;>=; 0
Expandindo,
x - 2raizx,y + y ;>=; 0 Longrightarrow x+y ;>=; 2raizx,y
Dividindo por 2 resulta
x+y2 ;>=; raizx,y,
ou seja
a ;>=; g

Passo 3

Provar que h <= g. Observe que 1/x e 1/y são positivos, então aplicamos AM-GM a eles:
tfrac1x + tfrac1y2 ;>=; raiztfrac1x cdot tfrac1y ;=;1raizx,y
Mas tfractfrac1x + tfrac1y2 = 1/h e 1/raizx,y = 1/g, logo
1h ;>=;1g
Como h>0 e g>0, ao tomar recíproco a desigualdade inverte-se e obtemos
h ;<=; g

Resposta

h ;<=; g ;<=; a

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