Seja
um polinômio com coeficientes inteiros.
(a) Se um número racional
(com
e
primos entre si) é tal que
, prove que
divide
e
divide
.
(b) Conclua que quando
, as raízes de
são inteiras ou irracionais.
(c) Use o resultado geral para provar que
é irracional.
(a) Se um número racional
(b) Conclua que quando
(c) Use o resultado geral para provar que
Passo 1
O enunciado trata do polinômio
com
.
(a) Pede-se provar o teste da raiz racional: se (em forma irreduzível) satisfaz
, então
e
.
(b) Conclui-se que, se , toda raiz racional deve ser inteira (ou então não é racional).
(c) Usa-se esse resultado para mostrar que não pode ser racional.
(a) Pede-se provar o teste da raiz racional: se
(b) Conclui-se que, se
(c) Usa-se esse resultado para mostrar que
Passo 2
Prova do teste da raiz racional. Suponha
e
Multiplicando por
obtemos
Nesse inteiro, todos os termos, exceto
, têm fator
. Logo
divide
. Como
, segue
. Analogamente, isolando
, vemos que
divide todos os termos à direita, e por
segue
.
Passo 3
Conclusão para
. Se
e
então, pelo passo anterior,
, logo
. Assim toda raiz racional
é na verdade um número inteiro
. Se não for inteira, não pode ser racional.
Passo 4
Construção do polinômio mínimo de
. Seja
Então
Reagrupando os termos em
:
Elevando ao quadrado:
Expandindo e simplificando obtemos um polinômio em
com coeficiente líder
:
Passo 5
Aplicação do teste da raiz racional ao polinômio
Como o coeficiente líder é
, toda raiz racional seria inteira e divisor de
; ou seja, um dos
. Basta verificar que nenhum desses valores anula
. Logo
não admite raiz racional.
Resposta
Portanto
não pode ser racional; ou seja, é irracional.