Seja f(x)=a0+a1 x+cdots+an x^n um polinômio com coeficientes inteiros.
(a) Se um número racional pq (com p e q primos entre si) é tal que f(pq)=0, prove que p divide a0 e q divide an.
(b) Conclua que quando an=1, as raízes de f são inteiras ou irracionais.
(c) Use o resultado geral para provar que raiz2+raiz[3]2 é irracional.

Passo 1

O enunciado trata do polinômio
f(x)=a0+a1x+cdots+anx^n
com a0,a1,dots,aninZ.
(a) Pede-se provar o teste da raiz racional: se tfracpq (em forma irreduzível) satisfaz fl(tfracpqr)=0, então pmid a0 e qmid an.
(b) Conclui-se que, se an=1, toda raiz racional deve ser inteira (ou então não é racional).
(c) Usa-se esse resultado para mostrar que raiz2+raiz[3]2 não pode ser racional.

Passo 2

Prova do teste da raiz racional. Suponha gcd(p,q)=1 e
fl( pqr)=a0+a1 pq+cdots+anl( pqr)^n=0
Multiplicando por q^n obtemos
a0q^n+a1p,q^n-1+cdots+anp^n=0
Nesse inteiro, todos os termos, exceto a0q^n, têm fator p. Logo p divide a0q^n. Como gcd(p,q)=1, segue pmid a0. Analogamente, isolando anp^n=-l(a0q^n+cdots+an-1p^n-1qr), vemos que q divide todos os termos à direita, e por gcd(p,q)=1 segue qmid an.

Passo 3

Conclusão para an=1. Se f(tfracpq)=0 e an=1 então, pelo passo anterior, qmid1, logo q=pm1. Assim toda raiz racional tfracpq é na verdade um número inteiro pm p. Se não for inteira, não pode ser racional.

Passo 4

Construção do polinômio mínimo de x=raiz2+raiz[3]2. Seja
y=x-raiz2 Longrightarrow y^3=2
Então
(x-raiz2)^3=2 ;Longrightarrow; x^3-3raiz2,x^2+6x-2raiz2-2=0
Reagrupando os termos em raiz2:
x^3+6x-2 ;-;raiz2,(3x^2+2)=0 ;Longrightarrow; raiz2=x^3+6x-23x^2+2
Elevando ao quadrado:
2,(3x^2+2)^2=(x^3+6x-2)^2
Expandindo e simplificando obtemos um polinômio em Z[x] com coeficiente líder 1:
x^6-6x^4+12x^2-4x^3-24x-4=0

Passo 5

Aplicação do teste da raiz racional ao polinômio
g(x)=x^6-6x^4-4x^3+12x^2-24x-4
Como o coeficiente líder é 1, toda raiz racional seria inteira e divisor de -4; ou seja, um dos pm1,pm2,pm4. Basta verificar que nenhum desses valores anula g(x). Logo g(x) não admite raiz racional.

Resposta

Portanto raiz2+raiz[3]2 não pode ser racional; ou seja, é irracional.

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