Verifique que y=11+c e^-x é uma família a um parâmetro de soluções da EDO y^prime=y-y^2. Além disso, encontre uma solução para o PVI
l y^prime=y-y^2 y(-1)=2

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
y(x)=11+c,e^-x
é uma família de soluções da EDO
y'=y-y^2,
e depois determinar a constante c de modo a satisfazer a condição inicial
y(-1)=2
Vamos usar derivação direta (regra da cadeia) para confirmar a solução geral e, em seguida, aplicar a condição inicial para achar a solução particular.

Passo 2

Calculemos y' para
y(x)=(1+c,e^-x)^-1
Pela regra da cadeia,
y' = -,(1+c,e^-x)^-2;ddx(1+c,e^-x) = -,(1+c,e^-x)^-2;(ccdot(-e^-x)) = c,e^-x,(1+c,e^-x)^-2
Por outro lado,
y - y^2 = (1+c,e^-x)^-1 - (1+c,e^-x)^-2 = (1+c,e^-x) - 1(1+c,e^-x)^2 = c,e^-x,(1+c,e^-x)^-2
Logo
y' = c,e^-x,(1+c,e^-x)^-2 = y - y^2,
confirmando que a família é de fato solução da EDO.

Passo 3

Agora impomos a condição inicial y(-1)=2. Temos
y(-1)=11 + c,e^-(-1) = 11 + c,e = 2
Isto dá
1 = 2,(1 + c,e) ;Longrightarrow; 1 = 2 + 2,c,e ;Longrightarrow; 2,c,e = -1 ;Longrightarrow; c = -12,e

Passo 4

Substituindo c=-tfrac12e na solução geral,
y(x) = 11 - 12,e,e^-x = 12,e - e^-x2,e = 2,e2,e - e^-x

Resposta

Solução geral:
y(x)=11+c,e^-x
Solução do PVI com y(-1)=2:
y(x)=2,e2,e - e^-x

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