Calcule as integrais definidas.
integral1^3(1x^3-3x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral1^3l(1x^3-3xr)dx
usando linearidade de integrais, as regras de antiderivação (potência e log) e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Aplicamos a linearidade e separamos em duas integrais:
integral1^3l(1x^3-3xr)dx =integral1^3x^-3dx -3integral1^31xdx

Passo 3

Para integral x^-3dx usamos a regra da potência:
integral x^ndx=x^n+1n+1+C(nneq -1)
Com n=-3 fica
integral x^-3dx=x^-2-2=-12x^2

Passo 4

Para integral1xdx sabemos que
integral1xdx=ln|x|+C,
então
-3integral1xdx=-3ln|x|

Passo 5

Juntando as antiderivadas, uma primitiva é
F(x)=-12x^2-3ln|x|
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral1^3l(1x^3-3xr)dx=F(3)-F(1)

Passo 6

Calculamos
F(3)=-12cdot3^2-3ln3=-118-3ln3,
F(1)=-12cdot1^2-3ln1=-12
Logo
F(3)-F(1) =l(-tfrac118-3ln3r)-l(-tfrac12r) =tfrac12-tfrac118-3ln3 =tfrac818-3ln3 =tfrac49-3ln3

Resposta

integral1^3l(1x^3-3xr)dx =49-3ln3

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