Considere a função z=f(x, y) em que
f(x, y)=cc x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Encontre o plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, f(x, y) , definida de forma diferente quando (x, y) é igual a (0,0) ou não. A tarefa é encontrar o plano tangente ao gráfico dessa função no ponto (1,1) .
Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre calculo de derivadas parciais e como elas ajudam a encontrar a equação do plano tangente. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto (1,1) , ou seja, f(1, 1) . De acordo com a definição da função, quando (x, y) neq (0,0) , temos:
f(x, y) = xyx^2 + y^2
Então, substituindo x = 1 e y = 1 :
f(1, 1) = 1 times 11^2 + 1^2 = 12

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e a y , que são fx e fy , respectivamente. Essas derivadas nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda.
Vamos calcular fx(x, y) primeiro. Usando a regra do quociente para derivadas:
fx(x, y) = (y)(x^2 + y^2) - xy(2x)(x^2 + y^2)^2 = y(x^2 + y^2) - 2x^2y(x^2 + y^2)^2 = y(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2
De forma similar, a derivada parcial em relação a y é:
fy(x, y) = x(x^2 + y^2) - xy(2y)(x^2 + y^2)^2 = x(x^2 + y^2) - 2xy^2(x^2 + y^2)^2 = x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora que temos as expressões para fx e fy , vamos avaliá-las no ponto (1,1) :
Para fx(1, 1) :
fx(1, 1) = 1(1^2 - 1^2)(1^2 + 1^2)^2 = 1(1 - 1)4 = 0
Para fy(1, 1) :
fy(1, 1) = 1(1^2 - 1^2)(1^2 + 1^2)^2 = 1(1 - 1)4 = 0

Passo 5

Com os valores de f(1, 1) , fx(1, 1) e fy(1, 1) em mãos, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente em (a, b) é:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo a = 1 , b = 1 , f(1,1) = 12 , fx(1,1) = 0 e fy(1,1) = 0 :
z = 12 + 0 cdot (x - 1) + 0 cdot (y - 1) = 12

Resposta

O plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,1) é dado por z = 12 .

Exercícios relacionados