Encontre o plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,1).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, f(x, y) , definida de forma diferente quando (x, y) é igual a (0,0) ou não. A tarefa é encontrar o plano tangente ao gráfico dessa função no ponto (1,1) .
Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre calculo de derivadas parciais e como elas ajudam a encontrar a equação do plano tangente. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto (1,1) , ou seja, f(1, 1) . De acordo com a definição da função, quando (x, y) neq (0,0) , temos:
f(x, y) = xyx^2 + y^2
Então, substituindo x = 1 e y = 1 :
f(1, 1) = 1 times 11^2 + 1^2 = 12
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e a y , que são fx e fy , respectivamente. Essas derivadas nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda.
Vamos calcular fx(x, y) primeiro. Usando a regra do quociente para derivadas:
Com os valores de f(1, 1) , fx(1, 1) e fy(1, 1) em mãos, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente em (a, b) é:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo a = 1 , b = 1 , f(1,1) = 12 , fx(1,1) = 0 e fy(1,1) = 0 :
z = 12 + 0 cdot (x - 1) + 0 cdot (y - 1) = 12
Resposta
O plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,1) é dado por z = 12 .