Considere a função z=f(x, y) em que
f(x, y)=cc x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Encontre a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção do vetor v=(1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional. A gente tem uma função f(x, y) definida de forma diferente dependendo de (x, y) . Queremos achar a derivada direcional dessa função no ponto (1,1) na direção do vetor v = (1,-1) . Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e como calcular a derivada direcional usando o gradiente e a normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função f no ponto (1,1) . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y .
A função é:
f(x, y) = xyx^2 + y^2 quando (x, y) neq (0,0)
Vamos calcular as derivadas parciais:
fx = partialpartial x ( xyx^2 + y^2 )
fy = partialpartial y ( xyx^2 + y^2 )
Usando a regra do quociente:
fx = y(x^2 + y^2) - xy(2x)(x^2 + y^2)^2 = y(x^2 + y^2 - 2x^2)(x^2 + y^2)^2 = y(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2
fy = x(x^2 + y^2) - xy(2y)(x^2 + y^2)^2 = x(x^2 + y^2 - 2y^2)(x^2 + y^2)^2 = x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2
Agora, avaliando no ponto (1,1) :
fx(1,1) = 1(1 - 1)(1 + 1)^2 = 04 = 0
fy(1,1) = 1(1 - 1)(1 + 1)^2 = 04 = 0
Então, o gradiente em (1,1) é:
nabla f(1,1) = (0, 0)

Passo 3

Agora, precisamos normalizar o vetor direção v = (1, -1) para obter um vetor unitário u . A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo.
|v| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2
u = ( 1raiz2, -1raiz2 )

Passo 4

Finalmente, a derivada direcional Dv f(1,1) é o produto escalar entre o gradiente nabla f(1,1) e o vetor unitário u :
Dv f(1,1) = nabla f(1,1) cdot u = (0, 0) cdot ( 1raiz2, -1raiz2 ) = 0 times 1raiz2 + 0 times -1raiz2 = 0

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção do vetor v = (1,-1) é 0.

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