Encontre a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção do vetor v=(1,-1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional. A gente tem uma função f(x, y) definida de forma diferente dependendo de (x, y) . Queremos achar a derivada direcional dessa função no ponto (1,1) na direção do vetor v = (1,-1) . Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e como calcular a derivada direcional usando o gradiente e a normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função f no ponto (1,1) . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e y .
Agora, precisamos normalizar o vetor direção v = (1, -1) para obter um vetor unitário u . A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo.
|v| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2
u = ( 1raiz2, -1raiz2 )
Passo 4
Finalmente, a derivada direcional Dv f(1,1) é o produto escalar entre o gradiente nabla f(1,1) e o vetor unitário u :
Dv f(1,1) = nabla f(1,1) cdot u = (0, 0) cdot ( 1raiz2, -1raiz2 ) = 0 times 1raiz2 + 0 times -1raiz2 = 0
Resposta
A derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção do vetor v = (1,-1) é 0.