Cálcule as integrais definidas abaixo:
integral0^pi4 sen x d x

Passo 1

Então, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para calcular uma integral definida:
integral0^pi4 sin x , dx
Isso está dentro do assunto de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar entender como integrar a função seno e aplicar os limites da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Basicamente, ela nos dá a área sob a curva da função entre dois pontos específicos. No nosso caso, queremos a área sob a curva de sin x de x = 0 até x = pi4.

Passo 3

Agora, vamos integrar a função sin x. A integral de sin x em relação a x é:
integral sin x , dx = -cos x + C
Aqui, C é a constante de integração, mas como estamos calculando uma integral definida, ela será eliminada quando aplicarmos os limites.

Passo 4

Aplicamos os limites da integral [0, pi4] na antiderivada -cos x. Isso significa que vamos calcular:
[-cos x]0^pi4 = (-cos pi4) - (-cos 0)

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores dos cossenos:
  • Sabemos que cos pi4 = raiz22
  • E cos 0 = 1
Então:
(-raiz22) - (-1) = -raiz22 + 1

Passo 6

Simplificando a expressão:
1 - raiz22
Podemos também escrever como uma fração única:
22 - raiz22 = 2 - raiz22

Resposta

A integral definida é igual a 1 - raiz22 ou, em forma de fração, 2 - raiz22.

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