Determine o limites
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, especialmente envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento de
e
se comporta quando
cresce sem limites (ou seja, vai para infinito).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador
. Quando
tende a infinito,
domina
, então
. Isso significa que o numerador está crescendo muito rapidamente, indo para infinito positivo.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador
. A função
é periódica com período
e possui assíntotas verticais em
, onde
é qualquer inteiro. Isso significa que, conforme
cresce,
oscila entre
e
repetidamente.
Passo 4
Para entender o comportamento de todo o limite, precisamos ver como o numerador e o denominador interagem. O numerador cresce para
, enquanto o denominador oscila sem limite, indo para
e
periodicamente.
Passo 5
Vamos considerar o quociente
. Quando
se aproxima de
, o quociente tende a
porque
dividido por um número muito grande dá próximo de zero. O mesmo acontece quando
se aproxima de
; o quociente ainda tende a
.
Passo 6
Como essa tendência para
acontece independentemente de
estar se aproximando de
ou
, podemos concluir que, no geral, o limite tende a
.