Determine o limites
lim x infty x^2+xtan x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite limx infty x^2 + xtan x. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, especialmente envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento de x^2 + x e tan x se comporta quando x cresce sem limites (ou seja, vai para infinito).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador x^2 + x. Quando x tende a infinito, x^2 domina x, então x^2 + x approx x^2. Isso significa que o numerador está crescendo muito rapidamente, indo para infinito positivo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador tan x. A função tan x é periódica com período pi e possui assíntotas verticais em x = pi2 + kpi, onde k é qualquer inteiro. Isso significa que, conforme x cresce, tan x oscila entre -infty e +infty repetidamente.

Passo 4

Para entender o comportamento de todo o limite, precisamos ver como o numerador e o denominador interagem. O numerador cresce para +infty, enquanto o denominador oscila sem limite, indo para +infty e -infty periodicamente.

Passo 5

Vamos considerar o quociente x^2 + xtan x. Quando tan x se aproxima de +infty, o quociente tende a 0 porque x^2 + x dividido por um número muito grande dá próximo de zero. O mesmo acontece quando tan x se aproxima de -infty; o quociente ainda tende a 0.

Passo 6

Como essa tendência para 0 acontece independentemente de tan x estar se aproximando de +infty ou -infty, podemos concluir que, no geral, o limite tende a 0.

Resposta

limx infty x^2 + xtan x = 0

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