Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral duplinha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
onde a região
está no primeiro quadrante e é delimitada pelo círculo
.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com integração em coordenadas polares, que é super útil quando temos regiões circulares ou funções envolvendo
.
O que vamos precisar:
- Converter a integral para coordenadas polares.
- Conhecer as fórmulas de mudança de coordenadas.
- Integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como mudar as coordenadas cartesianas
para polares
:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares fica:
E, claro,
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original usando coordenadas polares. Substituindo tudo, temos:
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração para
e
:
- Como
está no primeiro quadrante, varia de a radianos. - O círculo
tem raio , então vai de a .
Passo 5
Agora, nossa integral fica assim:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
.
Passo 6
Para integrar em relação a
, fazemos uma substituição:
- Seja
- Então,
⇒
Nossa integral interna fica:
Passo 7
Integrando
:
Substituindo de volta
:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de
de
a
:
Passo 9
Com a integral interna resolvida, substituímos de volta na integral externa:
Como a expressão dentro da integral é constante em relação a
, podemos simplificar:
Passo 10
Integrando em relação a
:
Então, nossa expressão fica:
Resposta
A integral vale