Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD 1(1+x^2+y^2)^3 / 2 d A, onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo x^2+y^2=16

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral duplinha juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integral duplaD 1(1+x^2+y^2)^3 / 2 , dA
onde a região D está no primeiro quadrante e é delimitada pelo círculo x^2+y^2=16 .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com integração em coordenadas polares, que é super útil quando temos regiões circulares ou funções envolvendo x^2 + y^2 .
O que vamos precisar:
  • Converter a integral para coordenadas polares.
  • Conhecer as fórmulas de mudança de coordenadas.
  • Integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como mudar as coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta) :
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
Além disso, o elemento de área dA em coordenadas polares fica:
dA = r , dr , dtheta
E, claro, x^2 + y^2 = r^2 .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original usando coordenadas polares. Substituindo tudo, temos:
integral duplaD 1(1 + r^2)^3 / 2 cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração para r e theta :
  • Como D está no primeiro quadrante, theta varia de 0 a pi2 radianos.
  • O círculo x^2+y^2=16 tem raio r = 4 , então r vai de 0 a 4 .

Passo 5

Agora, nossa integral fica assim:
integral0^pi2 integral0^4 r(1 + r^2)^3 / 2 , dr , dtheta
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r .

Passo 6

Para integrar em relação a r , fazemos uma substituição:
  • Seja u = 1 + r^2
  • Então, du = 2r , dr du2 = r , dr
Nossa integral interna fica:
integral 1u^3/2 cdot du2 = 12 integral u^-3/2 , du

Passo 7

Integrando u^-3/2 :
12 cdot ( u^-1/2-1/2 ) + C = -u^-1/2 + C = -1raizu + C
Substituindo de volta u = 1 + r^2 :
-1raiz1 + r^2 + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de r de 0 a 4 :
[ -1raiz1 + 4^2 ] - [ -1raiz1 + 0^2 ] = -1raiz17 + 1 = 1 - 1raiz17

Passo 9

Com a integral interna resolvida, substituímos de volta na integral externa:
integral0^pi2 (1 - 1raiz17) , dtheta
Como a expressão dentro da integral é constante em relação a theta , podemos simplificar:
(1 - 1raiz17) cdot integral0^pi2 dtheta

Passo 10

Integrando em relação a theta :
integral0^pi2 dtheta = pi2
Então, nossa expressão fica:
(1 - 1raiz17) cdot pi2

Resposta

A integral vale
pi2 (1 - 1raiz17)

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