Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR raizx^2+y^2 d A, onde R=(x, y) mid 1 <= x^2+y^2 <= 9, y >= 0

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral duplaRraizx^2+y^2,dA
no domínio
R = (x,y)mid 1<= x^2+y^2<= 9, y>= 0
O conteúdo envolve mudança de variáveis para coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, usamos
x = rcostheta y = rsintheta
Logo,
x^2+y^2 = r^2
Assim, 1<= x^2+y^2<=9 vira 1<= r^2<=9, isto é 1<= r<=3, e y>=0 implica thetain[0,pi].

Passo 3

O integrando raizx^2+y^2 torna-se r e o elemento de área dA vira r,dr,dtheta. Logo,
raizx^2+y^2,dA = rcdot r,dr,dtheta = r^2,dr,dtheta

Passo 4

A integral se reescreve como
integral0^piintegral1^3r^2,dr,dtheta

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em r:
integral1^3r^2,dr = [r^33]1^3 = 27-13 = 263
Depois a integral em theta:
integral0^pidtheta = pi
Multiplicando, obtemos
263,pi = 26pi3

Resposta

26pi3

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