Cálcule as integrais definidas abaixo:
integral1^2 1+3 x^2x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de 1 + 3x^2x de 1 a 2. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre como resolver integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar dividir a fração e integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A fração 1 + 3x^2x pode ser dividida em duas partes:
1x + 3x^2x = 1x + 3x

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral1^2 ( 1x + 3x ) dx
Isso facilita porque agora podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Vamos lembrar que a integral de 1x em relação a x é o logaritmo natural de x, ou seja, ln|x|. E a integral de x em relação a x é x^22. Então, aplicando isso:
integral 1x dx = ln|x| e integral 3x , dx = 3 cdot x^22 = 3x^22

Passo 5

Agora, juntando as integrais, temos:
integral1^2 ( 1x + 3x ) dx = [ ln|x| + 3x^22 ]1^2

Passo 6

Vamos calcular o valor da expressão dentro dos colchetes para os limites de integração 2 e 1.
Primeiro para x = 2:
ln(2) + 3(2)^22 = ln(2) + 122 = ln(2) + 6
Depois para x = 1:
ln(1) + 3(1)^22 = 0 + 32 = 32

Passo 7

Agora, subtraímos os resultados:
( ln(2) + 6 ) - ( 32 ) = ln(2) + 6 - 32 = ln(2) + 92

Resposta

A integral definida é igual a ln(2) + 92.

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