Cálcule as integrais definidas abaixo:
integral0^1 11+t^2 d t

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral definida integral0^1 11+t^2 , dt. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente, integrais definidas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a integral de funções envolvendo t^2 no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando: 11+t^2. Sabemos que a integral dessa função é relacionada à função arco-tangente. A regra geral é:
integral 11+t^2 , dt = arctan(t) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Como estamos lidando com uma integral definida, precisamos calcular o valor da função antiderivada nos limites de integração, ou seja, de 0 a 1. A fórmula para isso é:
integrala^b f(t) , dt = F(b) - F(a)
onde F(t) é a antiderivada de f(t).

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
integral0^1 11+t^2 , dt = arctan(1) - arctan(0)

Passo 5

Agora, vamos calcular arctan(1) e arctan(0):
  • arctan(1) é o ângulo cujo tangente é 1. Sabemos que tan(pi4) = 1, então arctan(1) = pi4.
  • arctan(0) é o ângulo cujo tangente é 0. Isso ocorre quando o ângulo é 0, ou seja, arctan(0) = 0.

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
integral0^1 11+t^2 , dt = pi4 - 0 = pi4

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