Cálcule as integrais definidas abaixo:
integral0^1 2 x1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado nos pede a integral\r
\r
Este problema envolve uma substituição simples, pois o numerador é justamente a derivada do denominador .

Passo 2

Fazemos a troca de variável \r
,u = 1 + x^2. \r
Então \r
,du = 2x,dx. \r
Quando x=0, temos u=1; quando x=1, temos u=2. A integral passa a ser\r
integral1^2 1u,du

Passo 3

Sabendo que \r
integral 1u,du = ln|u| + C,\r
calculamos a integral definida:\r
integral1^2 1u,du = l[ln|u|r]1^2 = ln(2) - ln(1)

Passo 4

Como ln(1)=0, concluímos que\r
integral0^1 2x1+x^2 ,dx = ln(2)

Resposta

ln(2)

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