Resolva
5. integral 2 x sen^4(x^2-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 2x sen^4(x^2-1) dx . Esse exercício envolve cálculo de integrais e trigonometria, especialmente integrando potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para x^2 - 1 , percebemos que sua derivada é 2x , que já está presente na integral. Isso é perfeito para a substituição!
Vamos definir:
u = x^2 - 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x :
dudx = 2x
Então, podemos rearranjar para encontrar dx :
du = 2x , dx
Isso nos mostra que 2x , dx é igual a du , o que simplifica a nossa integral.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral 2x sen^4(x^2-1) dx = integral sen^4(u) , du
Agora, nossa integral está em termos de u , o que facilita a resolução.

Passo 5

Precisamos integrar sen^4(u) . Para isso, usamos a fórmula de redução para potências de seno:
sen^4(u) = (sen^2(u))^2
Sabemos que:
sen^2(u) = 1 - cos(2u)2
Então:
sen^4(u) = (1 - cos(2u)2)^2 = 1 - 2cos(2u) + cos^2(2u)4

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral sen^4(u) , du = integral 1 - 2cos(2u) + cos^2(2u)4 , du
Vamos separar a integral:
= 14 integral 1 , du - 24 integral cos(2u) , du + 14 integral cos^2(2u) , du

Passo 7

Integrando cada parte:
  1. 14 integral 1 , du = u4
  2. -24 integral cos(2u) , du = -12 cdot sin(2u)2 = -sin(2u)4
  3. Para integral cos^2(2u) , du , usamos outra fórmula de redução:
cos^2(2u) = 1 + cos(4u)2
Então:
14 integral cos^2(2u) , du = 14 cdot 12 integral (1 + cos(4u)) , du = 18 ( u + sin(4u)4 )

Passo 8

Juntando todas as partes:
integral sen^4(u) , du = u4 - sin(2u)4 + u8 + sin(4u)32 + C
Simplificando:
= 3u8 - sin(2u)4 + sin(4u)32 + C

Passo 9

Agora, substituímos u = x^2 - 1 de volta:
= 3(x^2 - 1)8 - sin(2(x^2 - 1))4 + sin(4(x^2 - 1))32 + C

Resposta

A integral integral 2x sen^4(x^2-1) dx é igual a:
3(x^2 - 1)8 - sin(2(x^2 - 1))4 + sin(4(x^2 - 1))32 + C

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