Resolva
5.
5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo de integrais e trigonometria, especialmente integrando potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para
, percebemos que sua derivada é
, que já está presente na integral. Isso é perfeito para a substituição!
Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Então, podemos rearranjar para encontrar
:
Isso nos mostra que
é igual a
, o que simplifica a nossa integral.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Agora, nossa integral está em termos de
, o que facilita a resolução.
Passo 5
Precisamos integrar
. Para isso, usamos a fórmula de redução para potências de seno:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Vamos separar a integral:
Passo 7
Integrando cada parte:
-
-
- Para
, usamos outra fórmula de redução:
Então:
Passo 8
Juntando todas as partes:
Simplificando:
Passo 9
Agora, substituímos
de volta:
Resposta
A integral
é igual a: