Cálcule as integrais definidas abaixo:
integral0^pi3(sen x+sen 2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida aí: integral0^pi3 (sin x + sin 2x) , dx. A gente vai usar o conteúdo de cálculo, especificamente integração de funções trigonométricas. Precisamos lembrar das fórmulas de antiderivadas para sin x e sin 2x e aplicar os limites de integração depois.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar: integral0^pi3 sin x , dx e integral0^pi3 sin 2x , dx. Isso é útil porque a integral da soma é a soma das integrais.

Passo 3

Vamos achar a antiderivada de sin x. Sabemos que integral sin x , dx = -cos x + C, onde C é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com C.

Passo 4

Agora, vamos integrar sin 2x. A antiderivada de sin kx é -1kcos kx + C. Então, integral sin 2x , dx = -12cos 2x + C.

Passo 5

Agora que temos as antiderivadas, vamos aplicar os limites de integração [0, pi3] para cada parte:
  • Para sin x:
-cos x |0^pi3 = -cos(pi3) + cos(0)
  • Para sin 2x:
-12cos 2x |0^pi3 = -12cos(2pi3) + 12cos(0)

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  • Sabemos que cos(pi3) = 12 e cos(0) = 1. Então:
-12 + 1 = 12
  • Para a segunda parte, cos(2pi3) = -12 e cos(0) = 1. Então:
-12 times -12 + 12 times 1 = 14 + 12 = 34

Passo 7

Agora, somamos as duas partes:
12 + 34 = 54

Resposta

O valor da integral definida é 54.

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