Resolver o PVI por série de Taylor
y^prime prime-y=0
com as condições iniciais:
y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que resolver o problema inicial de valor (PVI) usando a série de Taylor. A equação diferencial que precisamos resolver é:
y'' - y = 0
Com as condições iniciais:
y(0) = 1, y'(0) = 0
Aqui, vamos utilizar o conceito de séries de Taylor para encontrar a solução. Isso envolve expandir a função y(x) em uma série infinita de potências de x .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de Taylor em torno de x = 0 :
y(x) = sumn=0^infty an x^n = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + cdots
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes an .

Passo 3

Usando as condições iniciais, podemos determinar os primeiros coeficientes. Quando x = 0 :
y(0) = a0 = 1
E a primeira derivada:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
Aplicando a condição inicial y'(0) = 0 :
y'(0) = a1 = 0
Então, até agora temos:
a0 = 1, a1 = 0

Passo 4

Agora, vamos usar a equação diferencial para encontrar uma relação entre os coeficientes. Primeiramente, calculamos a segunda derivada de y(x) :
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
A equação diferencial é y'' - y = 0 , então:
y''(x) - y(x) = 0
Substituindo as séries:
sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 - sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 5

Para igualar os termos, ajustamos os índices da primeira soma. Vamos substituir m = n - 2 :
summ=0^infty (m+2)(m+1) am+2 x^m - summ=0^infty am x^m = 0
Isso nos dá:
summ=0^infty [ (m+2)(m+1) am+2 - am ] x^m = 0
Para que isso seja válido para todo x , cada coeficiente de x^m deve ser zero:
(m+2)(m+1) am+2 - am = 0

Passo 6

Resolvendo para am+2 :
am+2 = am(m+2)(m+1)
Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar todos os coeficientes a partir de a0 e a1 .

Passo 7

Vamos calcular os primeiros coeficientes usando a relação de recorrência:
  • Para m = 0 :
a2 = a02 cdot 1 = 12
  • Para m = 1 :
a3 = a13 cdot 2 = 06 = 0
  • Para m = 2 :
a4 = a24 cdot 3 = 1212 = 124
  • Para m = 3 :
a5 = a35 cdot 4 = 020 = 0
E assim por diante.

Passo 8

Observamos um padrão aqui: todos os coeficientes ímpares são zero ( a1, a3, a5, ldots = 0 ) e os coeficientes pares seguem a relação:
a2n = 1(2n)!
Portanto, a série de Taylor de y(x) é:
y(x) = sumn=0^infty x^2n(2n)!

Resposta

A solução do PVI por série de Taylor é:
y(x) = sumn=0^infty x^2n(2n)! = cosh(x)

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