Resolver o PVI por série de Taylor
com as condições iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que resolver o problema inicial de valor (PVI) usando a série de Taylor. A equação diferencial que precisamos resolver é:
Com as condições iniciais:
Aqui, vamos utilizar o conceito de séries de Taylor para encontrar a solução. Isso envolve expandir a função
em uma série infinita de potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de Taylor em torno de
:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
.
Passo 3
Usando as condições iniciais, podemos determinar os primeiros coeficientes. Quando
:
E a primeira derivada:
Aplicando a condição inicial
:
Então, até agora temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a equação diferencial para encontrar uma relação entre os coeficientes. Primeiramente, calculamos a segunda derivada de
:
A equação diferencial é
, então:
Substituindo as séries:
Passo 5
Para igualar os termos, ajustamos os índices da primeira soma. Vamos substituir
:
Isso nos dá:
Para que isso seja válido para todo
, cada coeficiente de
deve ser zero:
Passo 6
Resolvendo para
:
Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar todos os coeficientes a partir de
e
.
Passo 7
Vamos calcular os primeiros coeficientes usando a relação de recorrência:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante.
Passo 8
Observamos um padrão aqui: todos os coeficientes ímpares são zero (
) e os coeficientes pares seguem a relação:
Portanto, a série de Taylor de
é:
Resposta
A solução do PVI por série de Taylor é: