Mostre que a EDO
pode ser transformada em uma EDO linear. Qual é a solução geral da EDO?
Dica: Faça
Dica: Faça
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é assim:
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de EDOs, especificamente transformando uma EDO não linear em uma EDO linear para facilitar a solução. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição sugerida pela dica:
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição indicada:
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Sabemos que:
Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação original. A equação original é:
Substituindo
e
:
Essa é a nova forma da equação, que é uma EDO linear de primeira ordem na variável
.
Passo 4
Para resolver essa EDO linear, vamos usar o método do fator integrante. A equação tem a forma:
Onde:
O fator integrante,
, é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada de
em relação a
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, fazemos uma substituição: seja
, então
, então:
Passo 7
Assim, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 9
Para encontrar
, tiramos o arco seno de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da EDO é: