Mostre que a EDO
(cos y) y^prime+2 x sen y=2 x
pode ser transformada em uma EDO linear. Qual é a solução geral da EDO?
Dica: Faça z=sen y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é assim:
(cos y) y' + 2x sin y = 2x
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de EDOs, especificamente transformando uma EDO não linear em uma EDO linear para facilitar a solução. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição sugerida pela dica: z = sin y.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: z = sin y. Agora, precisamos encontrar a derivada de z em relação a x, ou seja, z'. Sabemos que:
z = sin y
Então, aplicando a regra da cadeia:
z' = cos y cdot y'

Passo 3

Agora, vamos substituir z e z' na equação original. A equação original é:
(cos y) y' + 2x sin y = 2x
Substituindo z e z':
z' + 2x z = 2x
Essa é a nova forma da equação, que é uma EDO linear de primeira ordem na variável z.

Passo 4

Para resolver essa EDO linear, vamos usar o método do fator integrante. A equação tem a forma:
z' + P(x) z = Q(x)
Onde:
P(x) = 2x
Q(x) = 2x
O fator integrante, mu(x), é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 2x dx = e^x^2

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^x^2 z' + e^x^2 cdot 2x z = 2x e^x^2
O lado esquerdo da equação agora é a derivada de (e^x^2 z) em relação a x:
ddx (e^x^2 z) = 2x e^x^2

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx (e^x^2 z) dx = integral 2x e^x^2 dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^x^2 z. Para o lado direito, fazemos uma substituição: seja u = x^2, então du = 2x dx, então:
integral e^u du = e^u + C = e^x^2 + C

Passo 7

Assim, temos:
e^x^2 z = e^x^2 + C
Dividindo ambos os lados por e^x^2:
z = 1 + C e^-x^2

Passo 8

Lembrando que z = sin y, substituímos de volta:
sin y = 1 + C e^-x^2

Passo 9

Para encontrar y, tiramos o arco seno de ambos os lados:
y = arcsen(1 + C e^-x^2)

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = arcsen(1 + C, e^-x^2)

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