Calcule as integrais definidas abaixo:
integral1^3(x^4-3 x^2+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral definida para calcular:
integral1^3(x^4 - 3x^2 + 2) dx
Essa tarefa está ligada ao estudo de Cálculo Integral, especificamente integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de integração para polinômios e entender como aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar cada termo dentro da integral separadamente. Lembre-se que a integral de uma soma ou subtração é a soma ou subtração das integrais correspondentes. Então, temos:
integral (x^4 - 3x^2 + 2) dx = integral x^4 dx - 3integral x^2 dx + integral 2 dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo individualmente:
  1. Integral de x^4 :
    A regra de integração para potências de x é:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando para n = 4 :
integral x^4 dx = x^55
  1. Integral de x^2 :
    Aplicando a mesma regra para n = 2 :
integral x^2 dx = x^33
Mas como temos -3 multiplicando x^2 , fica:
-3 integral x^2 dx = -3 cdot x^33 = -x^3
  1. Integral de 2 :
    A integral de uma constante a é:
integral a , dx = a x
Então:
integral 2 , dx = 2x

Passo 4

Agora, juntando tudo que integramos:
integral (x^4 - 3x^2 + 2) dx = x^55 - x^3 + 2x + C
Como estamos lidando com uma integral definida, o C (constante de integração) não precisa ser considerado na etapa final.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 1 a 3 usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para substituir os limites na antiderivada e subtrair:
[x^55 - x^3 + 2x]1^3 = (3^55 - 3^3 + 2 cdot 3) - (1^55 - 1^3 + 2 cdot 1)
Vamos calcular cada parte:
  1. Para x = 3 :
3^55 - 3^3 + 2 cdot 3 = 2435 - 27 + 6 = 48.6 - 27 + 6 = 27.6
  1. Para x = 1 :
1^55 - 1^3 + 2 cdot 1 = 15 - 1 + 2 = 0.2 - 1 + 2 = 1.2

Resposta

Subtraindo os resultados:
27.6 - 1.2 = 26.4
Portanto, o valor da integral definida é 26,4.

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