Derive:
r(t)=(t^t,-sec t,(2-t)^2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetor
r(t)=l(t^t,-sec t,(2-t)^2r).
Para resolver, vamos derivar cada componente separadamente, usando:
– para t^t, a representação t^t=e^tln t e a regra da cadeia;
– para -sec t, a derivada de sec t;
– para (2-t)^2, a regra da cadeia em um polinômio.

Passo 2

Derivada da primeira componente f(t)=t^t.
Escrevendo f(t)=e^tln t, temos
f'(t)=e^tln t,ddtl(tln tr) =e^tln tl(ln t + tcdottfrac1tr) =t^tl(ln t + 1r)

Passo 3

Derivada da segunda componente g(t)=-sec t.
Sabendo que tfracddtsec t=sec ttan t, vem
g'(t)=-l(sec ttan tr) =-sec ttan t

Passo 4

Derivada da terceira componente h(t)=(2-t)^2.
Aplicando a regra da cadeia:
h'(t)=2,(2-t),ddt(2-t) =2,(2-t),(-1) =-2,(2-t)

Resposta

r,'(t) =l(t^t(ln t + 1),,-sec ttan t,,-2(2-t)r)

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