Resolva as integrais abaixo.
integral raiz2-4 x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral raiz2 - 4x^2,dx
Este é um caso de raiz quadrática do tipo raiza^2 - u^2, e vamos usar substituição trigonométrica para resolver.

Passo 2

Observe que
raiz2 - 4x^2 = raiz2,raiz1 - 2x^2
Fazemos então a substituição
x = 1raiz2sintheta,
de modo que
2x^2 = sin^2theta e raiz1 - 2x^2 = costheta

Passo 3

Derivando a substituição, temos
dx = 1raiz2costheta,dtheta
Logo o integrando fica
raiz2 - 4x^2,dx = raiz2costheta cdot 1raiz2costheta,dtheta = cos^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar cos^2theta, usamos a identidade de ângulo duplo:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Assim,
integral cos^2theta,dtheta = integral 1 + cos(2theta)2,dtheta = theta2 + sin(2theta)4 + C

Passo 5

Retornando à variável x, temos theta = arcsin(raiz2,x) e
sin(2theta) = 2sintheta,costheta = 2l(raiz2,xr)raiz1 - 2x^2 = 2raiz2,xraiz1 - 2x^2
Substituindo:
theta2 = 12arcsin(raiz2,x), sin(2theta)4 = 2raiz2,xraiz1 - 2x^24 = x2raiz2 - 4x^2

Resposta

integral raiz2 - 4x^2,dx = x2raiz2 - 4x^2 + 12arcsin(raiz2,x) + C

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