Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo envolve integrais definidas, uso de simetria (funções pares/ímpares) e substituição para lidar com
.
Passo 2
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 3
Observamos que
é função ímpar, logo
Passo 4
Logo
Passo 5
Para
, fazemos o truque de completar o quadrado no argumento do cosseno:
Passo 6
Definimos a mudança de variável
os limites passam de
Passo 7
Agora separamos:
Passo 8
A primeira integral é elementar: usando
,
,
Passo 9
Portanto, em termos de limites,
Passo 10
Juntando tudo:
Note que
Resposta
I=\frac12\sin8 - \int_{-1}{3}\cos\bigl(t2-1\bigr),dt