Calcule as integrais definidas abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para calcular I=integral-2^2l(xcos(x^2+2x)+3xr),dx. O conteúdo envolve integrais definidas, uso de simetria (funções pares/ímpares) e substituição para lidar com xcos(x^2+2x).

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes:
I=integral-2^2xcos(x^2+2x),dx;+ integral-2^23x,dx

Passo 3

Observamos que 3x é função ímpar, logo
integral-2^23x,dx=0

Passo 4

Logo
I=integral-2^2xcos(x^2+2x),dx

Passo 5

Para integral xcos(x^2+2x),dx, fazemos o truque de completar o quadrado no argumento do cosseno:
x^2+2x=(x+1)^2-1

Passo 6

Definimos a mudança de variável
t=x+1, dt=dx,
os limites passam de x=-2to t=-1 e x=2to t=3. Assim
integral-2^2xcos(x^2+2x),dx=integralt=-1^3(t-1)cos(t^2-1),dt

Passo 7

Agora separamos:
integral-1^3(t-1)cos(t^2-1),dt=integral-1^3tcos(t^2-1),dt-integral-1^3cos(t^2-1),dt

Passo 8

A primeira integral é elementar: usando u=t^2-1, du=2t,dt,
integral tcos(t^2-1),dt=tfrac12integralcos(u),du=tfrac12sin(u)=tfrac12sin(t^2-1)

Passo 9

Portanto, em termos de limites,
integral-1^3tcos(t^2-1),dt=l[tfrac12sin(t^2-1)r]t=-1^t=3=tfrac12l(sin(8)-sin(0)r)=tfrac12sin8

Passo 10

Juntando tudo:
I=tfrac12sin8; -;integral-1^3cos(t^2-1),dt
Note que integralcos(t^2-1),dt não tem forma elementar (envolve funções de Fresnel), então deixamos o resultado nessa forma definida.

Resposta

I=\frac12\sin8 - \int_{-1}{3}\cos\bigl(t2-1\bigr),dt

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