Calcule a integral (0,1),(-2,3) na região triangular com vértices (2,3) e .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR(2x^2+y),dA sobre a região triangular com vértices em (0,1),(-2,3) e (2,3). Vamos usar integração dupla em coordenadas cartesianas, montando uma integral iterada com limites adequados.

Passo 2

Para descrever R em termos de x e y, note que as arestas que ligam (0,1) a (-2,3) e a (2,3) têm equações y=-x+1 (ou x=1-y) e y=x+1 (ou x=y-1). Como o triângulo vai de y=1 (no vértice inferior) até y=3 (na base), temos
R=(x,y)mid 1<= y<= 3,;1-y<= x<= y-1

Passo 3

Assim, a integral iterada fica
integral duplaR(2x^2+y),dA=integraly=1^3integralx=1-y^,y-1(2x^2+y),dx,dy

Passo 4

Agora integramos em x. A antiderivada de 2x^2+y em relação a x é
integral(2x^2+y),dx=23x^3+yx

Passo 5

Avaliando de x=1-y até x=y-1 obtemos uma função de y:
[23x^3+yx]1-y^y-1=43y^3-2y^2+2y-43

Passo 6

Em seguida, integramos em y:
integral1^3l(43y^3-2y^2+2y-43r),dy=(y^43-23y^3+y^2-43y)1^3

Passo 7

Por fim, calculando o valor em y=3 e subtraindo o valor em y=1
l(27-18+9-4r)-l(tfrac13-tfrac23+1-tfrac43r)=14-l(-tfrac23r)=443

Resposta

443

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