Calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^2 x e^x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2 x e^x^2 ,dx
O conteúdo principal aqui é o cálculo de integrais definidas usando o método de substituição de variáveis. Vamos precisar reconhecer que a derivada de x^2 está presente no integrando.

Passo 2

Observando que
ddx(x^2) = 2x,
fazemos a substituição
u = x^2 Longrightarrow du = 2x ,dx Longrightarrow x,dx = du2

Passo 3

Com a mudança de variável, os limites também mudam: quando x=0, u=0; quando x=2, u=4. Assim a integral original vira
integral0^2 x e^x^2 ,dx = integralu=0^u=4 e^u du2 = 12 integral0^4 e^u ,du
Agora calculamos a antiderivada de e^u:
12 integral e^u ,du = 12 e^u + C

Passo 4

Para obter a integral definida, avaliamos a antiderivada entre u=0 e u=4:
12 e^u |0^4 = 12l(e^4 - e^0r) = e^4 - 12

Resposta

e^4 - 12

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