Use a diferenciação logarítmica para encontrar as derivadas das seguintes funções:
y=x^tan (x)

Passo 1

Primeiro, identifique que a função é do tipo y = f(x)^{g(x)}, ou seja, temos exponencial onde a base e o expoente dependem de x. Para derivar esse tipo de função, usaremos diferenciação logarítmica.

Passo 2

Aplique logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a dependência mista de base e expoente:
ln y = tan(x) cdot ln(x)

Passo 3

Agora, diferencie implicitamente em relação a x. Lembre que ao derivar ln y vem y'/y, e use regra do produto para o lado direito:
y'y = ddx[tan(x)],ln(x) + tan(x),ddx[ln(x)]
Como ddx[tan(x)] = sec^2(x) e ddx[ln(x)] = 1/x, temos
y'y = sec^2(x),ln(x) + tan(x)x

Passo 4

Finalmente, isole y' multiplicando ambos os lados por y e depois substitua y = x^tan(x):
y' = yl(sec^2(x),ln(x) + tan(x)xr) = x^tan(x)l(sec^2(x),ln(x) + tan(x)xr)

Resposta

y' = x^tan(x)l(sec^2(x),ln(x) + tan(x)xr)

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