Calcule as integrais definidas abaixo:

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral definida integral-1^1 x^3sin(x^2+1),dx. O conteúdo principal envolve a paridade de funções e o uso da propriedade de integrais sobre intervalos simétricos.

Passo 2

Vamos analisar a paridade de cada fator de f(x)=x^3sin(x^2+1):
  • x^3 é função ímpar, pois x^3=-(-x)^3.
  • sin(x^2+1) é função par, pois x^2+1=(-x)^2+1 e sin de um valor não muda sob troca de sinal do argumento.
    Portanto, o produto de uma função ímpar por uma função par é uma função ímpar.

Passo 3

Como f(x)=x^3sin(x^2+1) é função ímpar, a integral de f em um intervalo simétrico [-1,1] vale zero por paridade: se f é ímpar então integral-a^af(x),dx=0.

Resposta

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