Questão 1.(2.7pt) Considere
e lembre-se que
.
(V) (F) (O) (a)
é contínua em
somente se
.
(V) (F) (O) (b)
para todo
(V) (F) (O) ©
se
(V) (F) (O) (d)
se
(V) (F) (O) (e)
(V) (F) (O) (f) para todo
, a reta tangente ao gráfico de
em
passa por
(V) (F) (O) (a)
(V) (F) (O) (b)
(V) (F) (O) ©
(V) (F) (O) (d)
(V) (F) (O) (e)
(V) (F) (O) (f) para todo
Passo 1
Temos a função f definida por partes: para x>0, f(x) = (e^x + x)^{1/x}; para x≤0, f(x) = e{x3 + k}. A questão pede para julgar (V/F) várias afirmações sobre continuidade, limites, derivada e reta tangente.
Passo 2
Para (a), estudamos a continuidade em x=0. O limite pela direita é
Pela esquerda f(0)=e{03+k}=e^k. Para continuar é preciso ek=e2, ou seja k=2. Logo (a) é verdadeiro.
Passo 3
Em (b), para x→−∞ usamos f(x)=e{x3+k}. Como x^3→−∞, então x^3+k→−∞ e f(x)→0 independentemente de k. Logo (b) é verdadeiro.
Passo 4
Nos itens © e (d) analisamos x→+∞, com f(x) para x>0. Como e^x domina x,
Portanto o limite não é 1 (c é falso) nem 0 (d é falso).
Passo 5
Para (e), se y=f(x) então yx=ex+x. Ao derivar corretamente damos:
que deve igualar a e^x+1. A expressão dada em (e), yx\ln(x)y’=ex+1, não coincide com a derivada certa. Então (e) é falso.
Passo 6
Em (f), em x₀=−1 usamos f(x)=e{x3+k} e f’(x)=3x2e{x^3+k}. Assim f(−1)=e^{k−1} e f’(−1)=3e^{k−1}. A reta tangente é
Substituindo Q(−4/3,0) obtemos 0−e^{k-1} = 3e^{k-1}(-4/3+1) = -e^{k-1}, que é verdade para todo k. Logo (f) é verdadeiro.
Resposta
(a) V, (b) V, © F, (d) F, (e) F, (f) V