Questão 1.(2.7pt) Considere ll(e^x+x)^1 / x & , x>0 e^x^3+k & , x <= 0 e lembre-se que dd x a^x=a^x ln (a), a>0.
(V) (F) (O) (a) f é contínua em x=0 somente se k=2.
(V) (F) (O) (b) lim x -infty f(x)=0 para todo k in R
(V) (F) (O) © lim x infty f(x)=1 se k=2
(V) (F) (O) (d) lim x infty f(x)=0 se k<0
(V) (F) (O) (e) k in R
(V) (F) (O) (f) para todo f, a reta tangente ao gráfico de P(-1, f(-1)) em Q(-4 / 3,0) passa por

Passo 1

Temos a função f definida por partes: para x>0, f(x) = (e^x + x)^{1/x}; para x≤0, f(x) = e{x3 + k}. A questão pede para julgar (V/F) várias afirmações sobre continuidade, limites, derivada e reta tangente.

Passo 2

Para (a), estudamos a continuidade em x=0. O limite pela direita é
limxto0+(e^x + x)^1/x = expl(limxto0+tfrac1xln(1 + 2x + O(x^2))r) = exp(2) = e^2
Pela esquerda f(0)=e{03+k}=e^k. Para continuar é preciso ek=e2, ou seja k=2. Logo (a) é verdadeiro.

Passo 3

Em (b), para x→−∞ usamos f(x)=e{x3+k}. Como x^3→−∞, então x^3+k→−∞ e f(x)→0 independentemente de k. Logo (b) é verdadeiro.

Passo 4

Nos itens © e (d) analisamos x→+∞, com f(x) para x>0. Como e^x domina x,
f(x)=(e^x + x)^1/x=el(1 + xe^-xr)^1/xto e
Portanto o limite não é 1 (c é falso) nem 0 (d é falso).

Passo 5

Para (e), se y=f(x) então yx=ex+x. Ao derivar corretamente damos:
ddxy^x = y^xl(ln y + xtfracy'yr)
que deve igualar a e^x+1. A expressão dada em (e), yx\ln(x)y’=ex+1, não coincide com a derivada certa. Então (e) é falso.

Passo 6

Em (f), em x₀=−1 usamos f(x)=e{x3+k} e f’(x)=3x2e{x^3+k}. Assim f(−1)=e^{k−1} e f’(−1)=3e^{k−1}. A reta tangente é
y - e^k-1 = 3e^k-1(x+1)
Substituindo Q(−4/3,0) obtemos 0−e^{k-1} = 3e^{k-1}(-4/3+1) = -e^{k-1}, que é verdade para todo k. Logo (f) é verdadeiro.

Resposta

(a) V, (b) V, © F, (d) F, (e) F, (f) V

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