a) Encontre os seis primeiros termos do polinômio de Taylor da função y=ln (x) em x=1.
(Sol. (x-1)-(x-1)^22+(x-1)^33-(x-1)^44+(x-1)^55 )

Passo 1

Resumo do enunciado: Encontrar os seis primeiros termos do polinômio de Taylor de y=ln(x) em x0=1. Vamos precisar das derivadas sucessivas de ln(x) e da fórmula de Taylor em torno de um ponto.

Passo 2

Derivar sucessivamente f(x)=ln(x):
f(x)=ln(x)
f'(x)=1x
f''(x)=-1x^2
f'''(x)=2x^3
f''''(x)=-6x^4
f'''''(x)=24x^5

Passo 3

Avaliar as derivadas em x0=1:
f(1)=0, f'(1)=1, f''(1)=-1, f'''(1)=2, f''''(1)=-6, f'''''(1)=24

Passo 4

Usar a fórmula de Taylor centrada em x0=1 até a quinta ordem:
P5(x)=sumn=0^5f^(n)(1)n!(x-1)^n

Passo 5

Calcular cada termo de n=0 a 5:
Para n=0: 0
Para n=1: 1cdot(x-1)
Para n=2: -1/2,(x-1)^2
Para n=3: 2/6,(x-1)^3=1/3,(x-1)^3
Para n=4: -6/24,(x-1)^4=-1/4,(x-1)^4
Para n=5: 24/120,(x-1)^5=1/5,(x-1)^5

Passo 6

Somando todos os termos de n=0 a 5 obtemos o polinômio de Taylor de quarta ordem (na prática até (x-1)^5) centrado em x=1.

Resposta

O polinômio de Taylor de ln(x) em x=1 até a quinta ordem é:
(x-1)-(x-1)^22+(x-1)^33-(x-1)^44+(x-1)^55

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