Calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^1 raiz1+x^2 d x

Passo 1

A integral dada é integral0^1raiz1+x^2,dx. O conteúdo envolve achar a antiderivada de raiz1+x^2, e para isso podemos usar a substituição hiperbólica x=sinh u.

Passo 2

Fazendo a substituição x=sinh u: temos dx=cosh u,du e raiz1+x^2=raiz1+sinh^2u=cosh u. Assim o integrando vira cosh ucdotcosh u=cosh^2u. Os limites acompanham: quando x=0, u=arsinh(0)=0; quando x=1, u=arsinh(1)=ln(1+raiz2).
A integral transformada é integral0^1raiz1+x^2,dx=integral0^ln(1+raiz2)cosh^2u,du. Para integrar usamos a identidade cosh^2u=tfrac12(cosh(2u)+1).

Passo 3

Logo
integralcosh^2u,du=integraltfrac12(cosh(2u)+1),du=tfrac12l(tfrac12sinh(2u)+ur)=tfrac14sinh(2u)+tfracu2

Passo 4

Sabendo que sinh(2u)=2sinh ucosh u, colocamos de volta:

Passo 5

Agora avaliamos de u=0 a u=ln(1+raiz2). Em u=ln(1+raiz2) temos sinh u=1 e cosh u=raiz2, então
Fl(ln(1+raiz2)r)=tfrac12cdot1cdotraiz2+tfrac12ln(1+raiz2)=tfracraiz22+tfrac12ln(1+raiz2)

Passo 6

Em u=0 dá zero, logo a diferença é exatamente
tfracraiz22+tfrac12ln(1+raiz2)

Resposta

raiz22+12lnl(1+raiz2r)

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