Calcule as integrais definidas abaixo:
integral-1^1 x^24+x^6 d x

Passo 1

Estamos diante da integral integral-1^1 x^24+x^6 ,dx. O conteúdo envolve propriedades de funções pares e técnicas de substituição em integração.

Passo 2

Observamos que a função integrando é par, pois f(-x)=f(x). Assim, podemos usar a propriedade de simetria:
integral-1^1 x^24+x^6 ,dx = 2integral0^1 x^24+x^6 ,dx

Passo 3

Para calcular integral0^1 x^24+x^6 ,dx, fazemos a substituição t = x^3. Então
dt = 3x^2,dx Rightarrow x^2,dx = dt3, e os limites mudam de x=0 para t=0 e de x=1 para t=1. Logo:
integral0^1 x^24+x^6 ,dx = 13integral0^1 dt4+t^2

Passo 4

Usamos a primitiva integral dta^2+t^2 = 1aarctanl(tfractar)+C. Aqui a^2=4, logo a=2. Assim:
integral0^1 dt4+t^2 = 12l[arctanl(tfract2r)r]0^1 = 12arctanl(tfrac12r)

Passo 5

Finalmente, reunindo tudo e lembrando do fator 2 inicial:
integral-1^1 x^24+x^6 ,dx = 2cdot 13cdot 12arctanl(tfrac12r) = 13arctanl(tfrac12r)

Resposta

13arctanl(tfrac12r)

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