Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{0}^{1 / 2} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1/2} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
O conteúdo principal é usar uma substituição trigonométrica para eliminar a raiz \sqrt{1-x^{2}} e depois integrar uma potência de seno.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
x = \sin\theta,\quad dx = \cos\theta\,d\theta,
de modo que \sqrt{1-x^{2}} = \sqrt{1-\sin^{2}\theta} = \cos\theta.
Os limites em x de 0 a 1/2 correspondem a \theta variando de
x=0\implies \theta=0,\qquad x=\tfrac12\implies \theta=\tfrac{\pi}{6}.
Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{1/2} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int_{0}^{\pi/6} \frac{\sin^{4}\theta}{\cos\theta}\,\bigl(\cos\theta\,d\theta\bigr) = \int_{0}^{\pi/6} \sin^{4}\theta\,d\theta.

Passo 3

Para integrar \sin^{4}\theta, usamos a identidade de redução
\sin^{4}\theta = \Bigl(\sin^{2}\theta\Bigr)^{2} = \Bigl(\tfrac{1-\cos2\theta}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}\bigl(1 - 2\cos2\theta + \cos^{2}2\theta\bigr).
Em seguida, aplicamos \cos^{2}2\theta = \tfrac{1+\cos4\theta}{2}, o que dá
\sin^{4}\theta = \frac{1}{4}\Bigl(1 - 2\cos2\theta + \tfrac{1+\cos4\theta}{2}\Bigr) = \frac{3 - 4\cos2\theta + \cos4\theta}{8}.

Passo 4

Substituindo essa expressão na integral, temos
\int_{0}^{\pi/6} \sin^{4}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/6} \Bigl(\tfrac{3}{8} - \tfrac{4}{8}\cos2\theta + \tfrac{1}{8}\cos4\theta\Bigr)\,d\theta.
Integramos termo a termo:
\int \tfrac{3}{8}\,d\theta = \tfrac{3}{8}\,\theta, \quad \int -\tfrac{4}{8}\cos2\theta\,d\theta = -\tfrac{4}{8}\cdot\tfrac{\sin2\theta}{2} = -\tfrac{1}{4}\sin2\theta, \quad \int \tfrac{1}{8}\cos4\theta\,d\theta = \tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{\sin4\theta}{4} = \tfrac{1}{32}\sin4\theta.
Logo,
\int_{0}^{\pi/6}\sin^{4}\theta\,d\theta = \Bigl[\tfrac{3}{8}\,\theta \;-\;\tfrac{1}{4}\sin2\theta \;+\;\tfrac{1}{32}\sin4\theta\Bigr]_{0}^{\pi/6}.

Passo 5

Avaliaremos em \theta=\pi/6 e em \theta=0. Para \theta=\pi/6:
\tfrac{3}{8}\,\theta = \tfrac{3}{8}\cdot\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{\pi}{16},\quad \sin2\theta = \sin\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin4\theta = \sin\tfrac{2\pi}{3} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo:
\tfrac{\pi}{16} -\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} +\tfrac{1}{32}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\pi}{16} -\tfrac{\sqrt{3}}{8} +\tfrac{\sqrt{3}}{64} = \tfrac{\pi}{16} -\tfrac{7\sqrt{3}}{64}.
Em \theta=0 todos os termos são zero, logo a integral vale
\int_{0}^{\pi/6}\sin^{4}\theta\,d\theta = \tfrac{\pi}{16} - \tfrac{7\sqrt{3}}{64}.

Resposta

\int_{0}^{1/2} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \frac{\pi}{16} - \frac{7\sqrt{3}}{64}.

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