Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{0}^{1} \frac{2 x+1}{x^{2}+2 x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{2x+1}{x^{2}+2x+2}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional. Vamos completar o quadrado no denominador e usar substituição para separar em peças conhecidas (logarítmica e arctangente).

Passo 2

Complete o quadrado no denominador:
x^{2}+2x+2 = (x+1)^{2} + 1.
Fazendo a troca de variável
t = x+1,\qquad dt = dx,
os limites x=0\mapsto t=1 e x=1\mapsto t=2. O numerador fica
2x+1 = 2(t-1)+1 = 2t - 1.
Logo a integral passa a ser
\int_{1}^{2}\frac{2t-1}{t^{2}+1}\,dt.

Passo 3

Separe a fração em duas partes:
\frac{2t-1}{t^{2}+1} = \frac{2t}{t^{2}+1} \;-\;\frac{1}{t^{2}+1}.
Dessa forma
\int_{1}^{2}\frac{2t-1}{t^{2}+1}\,dt = \int_{1}^{2}\frac{2t}{t^{2}+1}\,dt - \int_{1}^{2}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt.

Passo 4

Calcule cada parcela:
  1. \displaystyle \int \frac{2t}{t^{2}+1}\,dt = \ln\bigl(t^{2}+1\bigr).
  2. \displaystyle \int \frac{1}{t^{2}+1}\,dt = \arctan(t).
    Avalie de 1 a 2:
\int_{1}^{2}\frac{2t}{t^{2}+1}\,dt = \bigl[\ln(t^{2}+1)\bigr]_{1}^{2} = \ln(5) - \ln(2),
\int_{1}^{2}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt = \bigl[\arctan(t)\bigr]_{1}^{2} = \arctan(2) - \frac{\pi}{4}.
Subtraindo, obtemos
\ln(5)-\ln(2)\;-\;\bigl(\arctan(2)-\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr) \;-\;\arctan(2)\;+\;\frac{\pi}{4}.

Resposta

\boxed{\ln\!\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr) \;-\;\arctan(2)\;+\;\frac{\pi}{4}}.

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