Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{x^{3}+49}{x^{2}-5 x+6} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}+49}{x^{2}-5x+6}\,dx
Essa é uma integral de uma função racional imprópria, então vamos primeiro fazer divisão de polinômios e depois usar frações parciais para a parte própria.

Passo 2

Fazemos a divisão de
x^{3}+49
por
x^{2}-5x+6\,.
O quociente é x+5 e o resto é 19x+19, pois
x^{3}+49 = (x+5)(x^{2}-5x+6) + (19x+19).
Logo
\frac{x^{3}+49}{x^{2}-5x+6} = x+5 + \frac{19x+19}{x^{2}-5x+6}.

Passo 3

Assim a integral se separa em
\int \frac{x^{3}+49}{x^{2}-5x+6}\,dx = \int (x+5)\,dx + 19\int \frac{x+1}{(x-2)(x-3)}\,dx.
A parte polinomial é imediata:
\int (x+5)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + 5x.

Passo 4

Para a parte racional usamos frações parciais. Queremos
\frac{x+1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}.
Multiplicando por (x-2)(x-3) vem
x+1 = A(x-3) + B(x-2).
De x=2 obtém-se 3 = A(-1)\Rightarrow A=-3.
De x=3 obtém-se 4 = B(1)\Rightarrow B=4.
Assim
\frac{x+1}{(x-2)(x-3)} = -\frac{3}{x-2} + \frac{4}{x-3}.

Passo 5

Substituindo de volta na integral racional:
19\int \frac{x+1}{(x-2)(x-3)}\,dx = 19\left(-3\int \frac{dx}{x-2} + 4\int \frac{dx}{x-3}\right).
Integrando cada termo:
-57\ln\lvert x-2\rvert +76\ln\lvert x-3\rvert.

Passo 6

Somando as duas partes, a antiderivada geral é
\frac{x^{2}}{2} + 5x \;-\;57\ln\lvert x-2\rvert \;+\;76\ln\lvert x-3\rvert + C.

Resposta

\boxed{\frac{x^{2}}{2} + 5x -57\ln\lvert x-2\rvert +76\ln\lvert x-3\rvert + C}.

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