Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{0}^{\pi / 4} \frac{\operatorname{sen}^{3} \theta}{\cos \theta} d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/4}\frac{\operatorname{sen}^{3}\theta}{\cos\theta}\,d\theta.
O conteúdo é integração de função trigonométrica que envolve potências de seno e cosseno. Para resolver, vamos usar a identidade \operatorname{sen}^{3}\theta=\operatorname{sen}\theta\,(1-\cos^{2}\theta) e em seguida uma substituição adequada.

Passo 2

Reescrevendo o integrando com a identidade do seno:
\frac{\operatorname{sen}^{3}\theta}{\cos\theta} =\frac{\operatorname{sen}\theta\,(1-\cos^{2}\theta)}{\cos\theta} =\bigl(1-\cos^{2}\theta\bigr)\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta} =\bigl(1-\cos^{2}\theta\bigr)\tan\theta.
Mas é mais direto manter em termos de \cos\theta no denominador:
\int\frac{\operatorname{sen}^{3}\theta}{\cos\theta}\,d\theta =\int\frac{(1-\cos^{2}\theta)\,\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}\,d\theta.

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad du=-\operatorname{sen}\theta\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}\theta\,d\theta=-du.
Então
\int\frac{(1-\cos^{2}\theta)\,\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}\,d\theta =\int\frac{1-u^{2}}{u}\,(-du) =-\int\Bigl(\frac{1}{u}-u\Bigr)du.

Passo 4

Calculamos a integral em u:
-\int\Bigl(\frac{1}{u}-u\Bigr)du =-\Bigl(\ln|u|-\frac{u^{2}}{2}\Bigr)+C =-\ln|u|+\frac{u^{2}}{2}+C.
Voltando a \theta, temos uma primitiva
F(\theta)=-\ln\bigl(\cos\theta\bigr)+\frac{\cos^{2}\theta}{2}.

Passo 5

Avaliaremos de \theta=0 a \theta=\pi/4:
F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =-\ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) +\frac{(\tfrac{\sqrt2}{2})^{2}}{2} =+\tfrac12\ln2+\tfrac{1}{4},
F(0) =-\ln(1)+\frac{1^{2}}{2} =0+\tfrac12=\tfrac12.
Portanto a integral definida vale
F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)-F(0) =\Bigl(\tfrac12\ln2+\tfrac14\Bigr)-\tfrac12 =\tfrac12\ln2-\tfrac14.

Resposta

\int_{0}^{\pi/4}\frac{\operatorname{sen}^{3}\theta}{\cos\theta}\,d\theta =\tfrac12\ln2-\tfrac14.

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