Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{d x}{x \sqrt{1-(\ln x)^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de
\int \frac{dx}{x\sqrt{1-(\ln x)^{2}}}.
O conteúdo aqui é integração por substituição: ao notar \ln x dentro da raiz e o fator 1/x no integrando, faz sentido escolher t=\ln x para simplificar a expressão.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = \ln x, \qquad dt = \frac{dx}{x},
a integral torna-se
\int \frac{dx}{x\sqrt{1-(\ln x)^{2}}} = \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}.

Passo 3

Reconhecemos a integral padrão
\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}} =\arcsin(t)+C.
Voltando à variável original x, temos t=\ln x.

Resposta

\arcsin(\ln x)+C

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