Calcule as integrais definidas abaixo.
\int_{0}^{1}\left(3+4 e^{x}\right) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(3+4e^{x}\bigr)\,\mathrm{d}x.
O conteúdo usado aqui é a linearidade da integral e o fato de conhecermos a primitiva de constantes e de e^{x}.

Passo 2

Usamos a propriedade da linearidade das integrais para separar
\int_{0}^{1}\bigl(3+4e^{x}\bigr)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1}3\,\mathrm{d}x + 4\int_{0}^{1}e^{x}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Agora encontramos as primitivas:
– Para a constante 3:
\int 3\,\mathrm{d}x = 3x.
– Para a função e^{x}:
\int e^{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}.
Logo, a primitiva de 3+4e^{x} é
F(x) = 3x + 4e^{x}.

Passo 4

Avaliaremos F(x) de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(3+4e^{x}\bigr)\,\mathrm{d}x = \bigl[\,3x + 4e^{x}\bigr]_{0}^{1} = \bigl(3\cdot1 + 4e^{1}\bigr) - \bigl(3\cdot0 + 4e^{0}\bigr) = 3 + 4e - 4.
Portanto o resultado é 4e - 1.

Resposta

\,4e - 1

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