O Problema da Distância
Em geral, suponha que o objeto se move com velocidade
v=f(t), em que
a \leq t \leq b e
f(t) \geq 0 (logo, o objeto move-se sempre no sentido positivo).Vamos registrar as velocidades nos instantes
t_{0}(=a), t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}(=b) de forma que a velocidade seja aproximadamente constante em cada subintervalo. Se esses tempos forem igualmente espaçados, então entre duas leituras consecutivas temos o período de tempo
\Delta t=(b-a) / n. Durante o primeiro intervalo de tempo a velocidade é aproximadamente
f\left(t_{0}\right) e, portanto, a distância percorrida é de aproximadamente
f\left(t_{0}\right) \Delta t.
Analogamente, a distância percorrida durante o segundo intervalo de tempo é de cerca de
f\left(t_{1}\right) \Delta t a distância total percorrida durante o intervalo de tempo
[a, b] é de aproximadamente
f\left(t_{0}\right) \Delta t+f\left(t_{1}\right) \Delta t+\cdots+f\left(t_{n-1}\right) \Delta t=\sum_{i=1}^{n} f\left(t_{i-1}\right) \Delta t
Se usarmos as velocidades nas extremidades direitas em vez de nas extremidades esquerdas, nossa estimativa para a distância total ficará
f\left(t_{1}\right) \Delta t+f\left(t_{2}\right) \Delta t+\cdots+f\left(t_{n}\right) \Delta t=\sum_{i=1}^{n} f\left(t_{i}\right) \Delta t