Dê um (contra)exemplo para provar que a seguinte conjectura não é verdadeira: todo inteiro positivo pode ser escrito na forma p+a^{2}, onde p é um primo ou 1 , e a \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede um contraexemplo para a conjectura “todo inteiro positivo n pode ser escrito na forma
n = p + a^2,
onde p é primo ou 1 e a\ge0 é inteiro”. Vamos então buscar um valor de n que não admita tal decomposição, testando sistematicamente as possibilidades.

Passo 2

Escolhemos n=25 e listamos todos os valores possíveis de p, isto é,
p\in\{1\}\cup\{ \text{primos menores que }25\} =\{1,2,3,5,7,11,13,17,19,23\}.
Para cada p calculamos 25-p e verificamos se é um quadrado perfeito, ou seja, se pertence a
\{a^2\mid a\ge0\}=\{0,1,4,9,16,25,\dots\}.

Passo 3

Calculando 25-p para cada p da lista:
\begin{aligned} 25-1&=24,\\\\ 25-2&=23,\\\\ 25-3&=22,\\\\ 25-5&=20,\\\\ 25-7&=18,\\\\ 25-11&=14,\\\\ 25-13&=12,\\\\ 25-17&=8,\\\\ 25-19&=6,\\\\ 25-23&=2. \end{aligned}
Nenhum desses valores está em \{0,1,4,9,16,25,\dots\}. Logo não existe inteiro a\ge0 tal que 25-p=a^2.

Passo 4

Concluímos que 25 não pode ser escrito na forma p+a^2 com p primo ou 1. Isso basta para refutar a conjectura.

Resposta

Um contraexemplo é o inteiro 25.

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