Prove cada uma das seguintes afirmações:
O único primo
para o qual
é um quadrado perfeito é $p=5.
O único primo
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos achar todos os primos
tais que
para algum inteiro
. O conteúdo aqui é resolver essa equação diofantina simples e usar a condição de primalidade em
.
Passo 2
Da igualdade
segue
logo
divide
. Como
(se
então
e
não seria múltiplo exato de
), temos
isto é,
.
Passo 3
Escrevemos então
com
. Substituindo em
obtém-se
Daí,
Passo 4
Para
ser primo, o número
deve ser maior que
e não ter divisores próprios além de
e ele mesmo. Note que
Em ambos os casos, se
, o fator
e o outro fator
são inteiros de módulo maior que
, produzindo um número composto. Se
então
, impossível. Sobram apenas
.
Passo 5
Para
temos
Destes, apenas
é primo. Para
obtém-se os mesmos valores em módulo (troca de sinal em
), logo o único primo gerado é novamente
.
Resposta
O único primo
tal que
é um quadrado perfeito é