Prove cada uma das seguintes afirmações:
O único primo p para o qual 3 p+1 é um quadrado perfeito é $p=5.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar todos os primos p tais que
3p+1=n^2
para algum inteiro n. O conteúdo aqui é resolver essa equação diofantina simples e usar a condição de primalidade em p.

Passo 2

Da igualdade 3p+1=n^2 segue
n^2-1=3p,
logo 3 divide n^2-1. Como \gcd(n,3)=1 (se 3\mid n então 9\mid n^2 e n^2-1 não seria múltiplo exato de 3), temos
n^2\equiv1\pmod3,
isto é, n\equiv\pm1\pmod3.

Passo 3

Escrevemos então
n=3k\pm1
com k\in\mathbb{Z}. Substituindo em n^2-1 obtém-se
n^2-1=(3k\pm1)^2-1=9k^2\pm6k=(3)(3k^2\pm2k).
Daí,
p=\frac{n^2-1}{3}=3k^2\pm2k.

Passo 4

Para p ser primo, o número 3k^2\pm2k deve ser maior que 1 e não ter divisores próprios além de 1 e ele mesmo. Note que
3k^2+2k=k(3k+2), \qquad 3k^2-2k=k(3k-2).
Em ambos os casos, se \lvert k\rvert>1, o fator k e o outro fator (3k\pm2) são inteiros de módulo maior que 1, produzindo um número composto. Se k=0 então p=0, impossível. Sobram apenas k=\pm1.

Passo 5

Para k=1 temos
3k^2+2k=3\cdot1+2=5,\quad 3k^2-2k=3\cdot1-2=1.
Destes, apenas 5 é primo. Para k=-1 obtém-se os mesmos valores em módulo (troca de sinal em n), logo o único primo gerado é novamente 5.

Resposta

O único primo p tal que 3p+1 é um quadrado perfeito é
p=5.

Exercícios relacionados