Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{1}^{3}\left(x^{3}-4 x+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{3}\left(x^{3}-4x+2\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \,x^{3}-4x+2.
  • Os limites de integração são \,a=1 (inferior) e \,b=3 (superior).
    A tarefa é obter o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Vou usar a ideia básica para integrar polinômios: se F é uma primitiva (antiderivada) de f, isto é F'(x)=f(x), então a integral definida satisfaz a regra
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a),
que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Também vou usar as regras elementares de integração:
  • Regra do poder: \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aqui n é um número (no nosso caso inteiros como 3 ou 1).
  • Linearidade: \displaystyle \int \big(c\cdot g(x)\big)\,dx = c\int g(x)\,dx e \displaystyle \int (g(x)+h(x))\,dx = \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx, onde c é constante.

Passo 3

Vou achar uma primitiva F(x) de f(x)=x^{3}-4x+2 fazendo termo a termo.
Para \,x^{3}: pela regra do poder com n=3,
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Para -4x: fatoramos a constante -4 e usamos a regra do poder com n=1,
\int -4x\,dx = -4\int x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2} = -2x^{2}.
Para 2 (constante): \displaystyle \int 2\,dx = 2x.
Somando tudo, uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}+2x.

Passo 4

Agora aplico F(b)-F(a) com b=3 e a=1.
Calculo F(3):
F(3)=\frac{3^{4}}{4}-2\cdot 3^{2}+2\cdot 3.
Passo a passo:
3^{4}=81,\qquad \frac{81}{4} \text{ é } \frac{81}{4}.é
-2\cdot 3^{2}=-2\cdot 9=-18.
2\cdot 3 =6.
Então
F(3)=\frac{81}{4}-18+6=\frac{81}{4}-12.
Colocando em quarto:
-12 = -\frac{48}{4},\qquad \frac{81}{4}-\frac{48}{4}=\frac{33}{4}.
Logo F(3)=\frac{33}{4}.
Calculo F(1):
F(1)=\frac{1^{4}}{4}-2\cdot 1^{2}+2\cdot 1=\frac{1}{4}-2+2=\frac{1}{4}.

Passo 5

A integral é
\int_{1}^{3}\left(x^{3}-4x+2\right)\,dx = F(3)-F(1)=\frac{33}{4}-\frac{1}{4}=\frac{32}{4}=8.

Passo 6

Verificação rápida (cheia de charme): derivando F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}-2x^{2}+2x obtém-se F'(x)=x^{3}-4x+2, que é a integranda, então a primitiva está correta. Portanto o resultado faz sentido.
Força aí — você chegou ao valor final limpinho!

Resposta

8

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