Q.3) Calcule o valor da integral \int_{1}^{5} \ln (3 x-2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{5} \ln(3x-2)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, já que temos um logaritmo. Lembramos que, para partes, escolhemos
u=\ln(3x-2) \quad\text{e}\quad dv=dx.

Passo 2

Calculamos então
du = \frac{d}{dx}\bigl[\ln(3x-2)\bigr]\,dx = \frac{3}{3x-2}\,dx \quad\text{e}\quad v = \int dv = \int dx = x.
Pela fórmula de partes,
\int \ln(3x-2)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\ln(3x-2) - \int x\cdot\frac{3}{3x-2}\,dx.

Passo 3

Fica então analisar
\int x\cdot\frac{3}{3x-2}\,dx = 3\int \frac{x}{3x-2}\,dx.
Fazemos a divisão
\frac{x}{3x-2} = \frac{1}{3}\,\frac{3x}{3x-2} = \frac{1}{3}\Bigl(1 + \frac{2}{3x-2}\Bigr),
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\int \frac{x}{3x-2}\,dx = \frac{1}{3}\int 1\,dx + \frac{2}{3}\int \frac{1}{3x-2}\,dx = \frac{x}{3} + \frac{2}{9}\ln\bigl|3x-2\bigr| + C.

Passo 4

Reunindo em partes,
\int \ln(3x-2)\,dx = x\ln(3x-2) - 3\Bigl(\frac{x}{3} + \frac{2}{9}\ln(3x-2)\Bigr) + C = x\ln(3x-2) - x - \frac{2}{3}\ln(3x-2) + C.
Agrupando termos, uma primitiva válida é
F(x) = \bigl(x - \tfrac{2}{3}\bigr)\ln(3x-2) - x + C.

Passo 5

Agora avaliamos de 1 a 5:
F(5) = \Bigl(5-\tfrac{2}{3}\Bigr)\ln(13) - 5 = \frac{13}{3}\ln(13) - 5,
F(1) = \Bigl(1-\tfrac{2}{3}\Bigr)\ln(1) - 1 = \frac{1}{3}\cdot 0 - 1 = -1.
Então
\int_{1}^{5} \ln(3x-2)\,dx = F(5)-F(1) = \Bigl(\frac{13}{3}\ln(13)-5\Bigr) - (-1) = \frac{13}{3}\ln(13) - 4.

Resposta

\boxed{\frac{13}{3}\,\ln(13)\;-\;4}

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