Resolva os seguintes PVI’s usando Transformada de Laplace
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+y=\cos (t) \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'(t) + y(t) = \cos(t),\\\ y(0)=2, \end{cases}
usando a transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades \mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0) e das transformadas de \cos(t), e^{-t}, \sin(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de y'(t)+y(t)=\cos(t), obtemos
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s) + \mathcal{L}\{y(t)\}(s) =\mathcal{L}\{\cos(t)\}(s).
Substituindo \mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-2, \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s) e \mathcal{L}\{\cos(t)\}(s)=\tfrac{s}{s^2+1}, vem
\bigl(sY(s)-2\bigr) + Y(s) = \frac{s}{s^2+1}.

Passo 3

Reunindo Y(s) na equação acima:
(s+1)Y(s) - 2 = \frac{s}{s^2+1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{s}{(s+1)(s^2+1)} + \frac{2}{s+1}.

Passo 4

Para inverter a transformada, decomponha
\frac{s}{(s+1)(s^2+1)} =\frac{A}{s+1} + \frac{Bs + C}{s^2+1}.
Multiplicando por (s+1)(s^2+1) e igualando coeficientes obtém-se A=-\tfrac12, B=\tfrac12, C=\tfrac12.
Logo
\frac{s}{(s+1)(s^2+1)} =-\frac{1/2}{s+1} + \frac{\tfrac12\,s + \tfrac12}{s^2+1}.

Passo 5

Substituindo na expressão de Y(s):
Y(s) = -\frac{1/2}{s+1} + \frac{\tfrac12\,s}{s^2+1} + \frac{\tfrac12}{s^2+1} + \frac{2}{s+1} = \frac{3/2}{s+1} + \frac{1/2\,s}{s^2+1} + \frac{1/2}{s^2+1}.

Passo 6

Invertemos termo a termo usando \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t}, \mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2+1)\}=\cos(t), \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+1)\}=\sin(t).
Assim
y(t) = \frac{3}{2}e^{-t} + \frac{1}{2}\cos(t) + \frac{1}{2}\sin(t).

Resposta

y(t)=\tfrac{3}{2}e^{-t}+\tfrac{1}{2}\cos(t)+\tfrac{1}{2}\sin(t).

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