Encontre o volume do sólido S obtido pela rotação da região
R=\left\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1 \text { e } 0 \leq y \leq x^{2}\right\}
em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao girar em torno do eixo x a região
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\\\ 0 \le y \le x^2\}.
Para resolver, vamos usar o método dos discos (fatias) de cálculo de volumes de revolução.

Passo 2

No método dos discos, em cada abscissa x\in[0,1] a seção perpendicular ao eixo x é um disco de raio igual à altura da curva y=x^2 até o eixo x. Logo, o raio é
r(x)=x^2
e a área do disco é \pi [r(x)]^2.

Passo 3

O volume de uma fatia de espessura dx é
dV = \pi\bigl(r(x)\bigr)^2\,dx = \pi\,(x^2)^2\,dx = \pi\,x^4\,dx.
Assim, o volume total é
V = \int_{0}^{1} \pi\,x^4\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral:
V = \pi \int_{0}^{1} x^4\,dx = \pi \left[\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = \pi \cdot \frac{1}{5} = \frac{\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{5}

Exercícios relacionados