Calcule as integrais definidas abaixo
integral-pi / 2^pi / 2(8 theta^2+cos (theta)) d theta

Passo 1

Temos a integral definida
integral-pi/2^pi/2l(8theta^2+cos(theta)r),dtheta
O conteúdo principal aqui é integração de funções polinomiais e trigonométricas. Vamos usar as propriedades de linearidade de integrais e de paridade de funções para simplificar o cálculo.

Passo 2

Usando a linearidade da integral, podemos separar a soma dentro do integrando em duas integrais:
integral-pi/2^pi/28theta^2,dtheta +integral-pi/2^pi/2cos(theta),dtheta

Passo 3

Observando a paridade das funções: 8theta^2 é par e cos(theta) também é par. Para funções pares vale:
integral-a^af(theta),dtheta=2integral0^af(theta),dtheta
Então reescrevemos cada integral como duas vezes a integral de 0 a pi/2.

Passo 4

Vamos calcular a parte polinomial:
integral-pi/2^pi/28theta^2,dtheta =2integral0^pi/28theta^2,dtheta =16integral0^pi/2theta^2,dtheta
E sabemos que
integral0^pi/2theta^2,dtheta=theta^33|0^pi/2=(pi/2)^33=pi^324
Logo essa parte vale
16cdotpi^324=1624pi^3=2pi^33

Passo 5

Agora a parte trigonométrica:
integral-pi/2^pi/2cos(theta),dtheta =2integral0^pi/2cos(theta),dtheta =2l[sin(theta)r]0^pi/2 =2(1-0)=2

Passo 6

Para concluir, somamos o resultado das duas partes: a parte polinomial deu tfrac2pi^33 e a parte trigonométrica deu 2, então a integral original é a soma desses valores.

Resposta

2pi^33+2

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