Determine a área da região limitada pelas curvas dadas.
f(x)=tan (x), g(x)=1, x=0

Passo 1

O enunciado nos pede a área da região limitada pelas curvas y=tan(x), y=1 e a reta vertical x=0. O conteúdo envolvido é o cálculo de área entre duas curvas usando integrais definidas, e vamos precisar identificar o ponto de interseção entre tan(x) e 1 e depois integrar a diferença 1-tan(x) no intervalo apropriado.

Passo 2

Primeiro encontramos o ponto onde tan(x)=1. Resolvendo isso, temos x=arctan(1)=pi/4. Logo, a região está entre x=0 e x=pi/4.

Passo 3

Para calcular a área A, montamos a integral da diferença entre a curva superior y=1 e a inferior y=tan(x) de 0 a pi/4:
A=integral0^pi/4l(1-tan(x)r),dx

Passo 4

Sabendo que integral1,dx=x e integraltan(x),dx=-lnlvertcos(x)rvert, a primitiva de 1-tan(x) é x+lnlvertcos(x)rvert. Avaliando de 0 a pi/4:
A=l[x+lnlvertcos(x)rvertr]0^pi/4=l(tfracpi4+lncos(tfracpi4)r)-l(0+lncos(0)r)

Passo 5

Como cos(pi/4)=tfracraiz22 e cos(0)=1, temos
A=tfracpi4+lnl(tfracraiz22r)-0=tfracpi4+lnl(2^-1/2r)=tfracpi4-tfrac12ln2

Resposta

A=pi4-12ln2

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