Faça uma mudança para coordenadas polares e depois calcule as integrais abaixo.
integral-1^0 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral-1^0!integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2x,dy,dx usando mudança para coordenadas polares. O conteúdo é de integrais duplas e transformação para coordenadas polares, onde vamos precisar usar as fórmulas de conversão x=rcostheta, y=rsintheta e Jacobiano dx,dy=r,dr,dtheta.

Passo 2

A região descrita por xin[-1,0] e yin[-raiz1-x^2,raiz1-x^2] é a metade esquerda do disco de raio 1 centrado na origem. Em coordenadas polares, isso corresponde a 0<= r<=1 e pi/2<=theta<=3pi/2, pois nessa faixa de theta temos costheta<=0.

Passo 3

Substituímos na integral: x=rcostheta e dy,dx=r,dr,dtheta. Assim

Passo 4

Agora calculamos separadamente:

Passo 5

Multiplicando os resultados das duas integrais, obtemos tfrac13times(-2) = -tfrac23.

Resposta

-2/3

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